第五章 时域离散系统的基本网络结构
5．1 引言
一般时域离散系统或网络可以用差分方程、单位脉冲响应以及系统函数进行描述。
y(n)=
+
(5.1.1) 则其系统函数
为 为了用计算机或专用硬件完成对输入信号的处理（运算），必须把(5.1.1)或(5.1.2)变换成一种算法，按照这种算法对输入信号进行运算。但是算法往往不唯一。
例如：
，代表一种算法，
，代表第二种算法，
，代表第三种算法。的不同表示方法代表着不同的算法。不同的算法直接影响系统运算误差、运算速度以及系统的复杂程度和成本等。因此研究实现信号处理的算法是一个很重要的问题。我们用网络结构表示具体的算法。网络结构实际表示的是一种运算结构。运算结构是重要的，不同结构所需的存储单元及乘法次数是不同的，前者影响复杂性，后者影响运算速度。
5．2 用信号流图表示网络结构
观察(5.1.1)式可知，数字信号处理中有三种基本算法，即乘法、加法和单位延迟。三种基本流图如下：
支路箭头处如不标传输系数值，则认为其传输系数为1，而延迟支路则用延迟算子z-1表示，它表示单位延时。上图中圆点称为节点，输入x(n)的节点称源节点或输入节点，输出y(n)称为吸收节点或输出节点。每个节点处的信号称节点变量。这样信号流图实际上是由连接节点的一些有方向性的支路构成的。例如：
源节点没有输入支路，输出节点没有输出支路。如果某节点有一个输入、一个或多个输出，则此节点相当于分支节点；如果某节点有两个或两个以上的输入，则此节点相当于相加器
每个节点处的信号称节点变量。节点变量等于所有输入支路的信号之和。输入支路的信号值等于这一支路起点处节点信号值乘以支路上的传输系数。
从上图得时域方程
从上图得z域方程：
信号流图简明地表示了系统的运算情况。以下我们均用信号流图表示网络结构。
基本信号流图必须满足下列条件：
（1） 信号流图中所有支路都是基本的，即支路增益是常数或是z-1；
（2） 流图环路中必须存在延迟支路
（3） 节点和支路的数目是有限的
图（5.2.2）a是基本信号流图。图（5.2.2）b不是基本信号流图，它不能决定一种具体的算法。
一般将网络结构分成两类，一类称为有限长脉冲响应网络，简称FIR（Finite Impulse Response）网络，另一类称为无限长脉冲响应网络，简称IIR（Infinite Impulse Response）网络。FIR网络中一般不存在输出对输入的反馈支路，因此差分方程用下式描述
y(n)= 其单位脉冲响应是有限长。
另一类IIR网络结构存在输出对输入的反馈支路，也就是说，信号流图中存在环路，这类网络的单位脉冲响应是无限长。
5．3 无限长脉冲响应基本网络结构
IIR网络的特点是信号流图中含有反馈支路，即含有环路，其单位脉冲响应是无限长的。基本网络结构有三种：直接型、级联型和并联型。
1、 直接型
将N阶差分方程及系统函数重写如下：
y(n)=+ 设M=N=2，则
y(n)=
按照差分方程可以直接画出网络结构如图5.3.1（a）所示
图5.3.1 IIR网络直接型结构
y(n)=
例5.3.1设IIR数字滤波器的系统函数为 画出该滤波器的直接型结构。
直接型结构优缺点：结构简单直观。但系数ak，bk与系统函数的零极点关系不明显。并且，这种结构极点对系数的变化过于灵敏，容易出现不稳定。
2、 级联型
在（5.1.2）式表示的系统函数H(z)中，分子分母均为多项式，且多项式的系数一般为实数。现将分子、分母多项式分别进行因式分解，得到
式中A是常数，cr和dr分别表示零点和极点。由于多项式的系数是实数，cr和dr是实数或者是共轭成对的复数，将共轭成对的零点（极点）放在一起，形成一个二阶多项式，其系数仍为实数；再将分子、分母均为实系数的二阶多项式放在一起，形成一个二阶网络Hj(z) 。
Hj(z)=
一阶网络Hj(z)= 
这样就分解成一些一阶或二阶数字网络的级联形式，如下式： = H1(z) H2(z)…Hk(z) 
式中Hj(z)表示一个一阶或二阶的数字网络的系统函数，每个Hj(z)的网络结构均采用前面介绍的直接型网络结构，如图5.3.3所示，称为级联型一阶、二阶基本节。一阶网络Hj(z)=， Hj(z)=
例5.3.2 设系统函数如下式： 画出该滤波器的级联型结构
解：将的分子、分母进行因式分解得
级联型结构优缺点：运算误差累加。能准确调整滤波器的零极点，因而便于调整滤波器的频率响应。
3、 并联型
如果将级联形式的展成部分分式形式，则得到IIR并联型结构 = H1(z)+ H2(z)+ …+ Hk(z) 式中，Hi(z)通常为一阶网络或二阶网络，网络系统均为实数。二阶网络的系统函数一般为
Hi(z)=
一阶网络的系统函数一般为：
Hi(z)=
（注意，并联型一阶、二阶网络结构与级联型一阶、二阶网络结构不同）
例5.3.3 画出例题5.3.2中的的并联型结构 解：将展成部分分式形式： 将每一部分用直接型结构实现。
并联型结构优缺点：每一个一阶网络决定一个实数极点，每一个二阶网络决定一对共轭极点，因此，调整极点位置方便，但调整零点位置不如级联型方便。运算误差不累加，运算速度高。
5．4 有限长脉冲响应基本网络结构
FIR网络结构特点是没有反馈支路，即没有环路，其单位脉冲响应是有限长的。设单位脉冲响应h(n)长度为N，其系统函数和差分方程分别为 1、 直接型（横截型，卷积型）
按照或者差分方程直接画出结构如下图所示。这种结构称为直接型网络结构或者称为卷积型结构。
2、 级联型
将进行因式分解，并将共轭成对的零点放在一起，形成一个系数为实数的二阶形式，这样级联型网络结构就是由一阶或二阶因子构成的级联结构，其中每一个因式都用直接型实现。
例5.4.1 设FIR网络系统函数如下式：
画出直接型结构和级联型结构
解：
级联型结构优缺点：调整零点位置比直接型方便，但需要的乘法器多。因此普遍应用的是直接型
3、 频率采样结构
我们已经知道，频率域等间隔采样，相应的时域信号会以采样点数为周期进行周期性延拓，如果在频率域采样点数N大于等于原序列的长度M，则不会引起信号失真，此时原序列的Z变换与频域采样值
满足下面关系式： =
=
（5.4.1）
（5.4.1）提供了一种称为频率采样的FIR网络结构。将（5.4.1）写成：
=
式中
，
这样，是由梳状滤波器
和N个一阶网络
的并联结构进行级联而成的，其网络结构如图5.4.3所示。
该网络结构中有反馈支路，它由产生。的零点刚好和的极点相互抵消（理想情况），使频率域采样结构仍属于FIR网络结构。
优点：频率抽样结构的特点是它的系数就是滤波器在
处的响应，因此控制滤波器的频率响应很方便。相同部分便于标准化、模块化。 缺点：（1）所有极点都在单位圆上，当系数量化时，这些极点会移动，有些极点就不能被零点所抵消，甚至有时极点移动到单位圆外，系统就不稳定了。
（2）结构中所乘的系数及
一般是复数，增加了乘法次数和存储量。
为克服上述缺点（1），对频率抽样结构做一点修正：将零极点都移动到某一靠近单位圆，半径为r(r小于或近似等于1)的圆上，这时
=
。如果由于某种原因，零极点不能抵消，极点位置仍在单位圆内，保持系统稳定。 消除第二个缺点的方法：由DFT的共轭对称性得，如果h(n)是实序列，其离散傅立叶变换关于N/2点共轭对称，即
。=
=
+
=
式中
=2
当N为偶数时，k=1，2，…，N/2-1
=-2
当N为偶数时，表示为： =
网络结构为
当N为奇数时，表示为： =
=2 当N为奇数时，k=1，2，…，(N-1)/2=-2
网络结构为：
时域离散系统：数字滤波器
时域离散系统的网络结构IIR，FIR，
IIR数字滤波器，FIR数字滤波器。
FIR数字滤波器
有限长，长度为N，且为实数。
，
在第七章将证明，如要求FIR数字滤波器具有严格的线性相位时，它的条件就是或
4、 线性相位FIR数字滤波器的网络结构
线性相位FIR数字滤波器的条件：
或
|
|
或
当N为偶数时，关于
对称 当N为奇数时，关于对称
线性相位FIR数字滤波器的网络结构
当N为奇数时：
在第二个∑式中，令n=N-1-m
=
=
将m换成n，第二个∑=
所以
将线性相位滤波器的条件写成：
即
=
=
+
N为奇数时线性相位FIR滤波器的直接型结构
画当N=5时的图，当N=7时的图
当N为偶数时：
在第二个∑式中，令n=N-1-m
将m换成n，第二个∑=
所以
将线性相位滤波器的条件写成：
即= =
N为偶数时线性相位FIR滤波器的直接型结构
当N=6时的图
由上面流图看出线性相位FIR数字滤波器结构比一般直接型结构节省一半数量的乘法次数。
= 
(5.1.2)
和
。调换
，
，
，
和
均为实数。
，
，
，
均为实数。
+
+
=
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