全书共分6大部分。第1部分介绍数值方法的背景知识、MATLAB的软件环境和编程模式，后5部分集中介绍数值方法的主要应用领域，具体包括求根与最大化、线性代数方程组的求解、曲线拟合、数值积分与微分以及常微分方程数值解。本书不但介绍各类数值方法的基本原理和基于MATLAB的实现，而且非常注重实际应用和计算能力的训练，除了针对基本内容给出相应的典型实例外，还在每章的末尾提供大量实用的习题，有助于读者进一步巩固所学的知识。

第Ⅰ部分建模、计算机与误差分析

第1章数学建模、数值方法与问题

求解3

提出问题3

1.1一个简单的数学模型4

1.2工程与科学中的守恒律10

1.3本书中涉及的数值方法13

1.4案例研究15

1.5习题17

第2章MATLAB基础29

提出问题29

2.1MATLAB环境30

2.2赋值31

2.2.1标量31

2.2.2数组、向量和矩阵33

2.2.3冒号操作符35

2.2.4linspace和logspace函数36

2.2.5字符串36

2.3数学运算38

2.4使用内置函数42

2.5绘图45

2.6其他资源49

2.7案例研究：探索性数据

分析49

2.8习题51

第3章编写MATLAB程序59

提出问题59

3.1M文件60

3.1.1脚本文件60

3.1.2函数文件61

3.1.3变量的作用域63

3.1.4全局变量64

3.1.5子函数66

3.2输入/输出67

3.3结构化编程71

3.3.1决策71

3.3.2循环79

3.3.3动画83

3.4嵌套与缩进85

3.5将函数传入M文件88

3.5.1匿名函数88

3.5.2函数函数89

3.5.3传递参数92

3.6案例研究：蹦极运动员的速度93

3.7习题97

第4章舍入与截断误差111

提出问题111

4.1误差112

4.1.1准确度与精度112

4.1.2误差定义113

4.1.3迭代计算的计算机算法116

4.2舍入误差118

4.2.1计算机中数的表示118 [3]

4.2.2计算机中数的算术运算123

4.3截断误差125

4.3.1泰勒级数125

4.3.2泰勒级数展开的余项129

4.3.3用泰勒级数估计截断误差131

4.3.4数值差分132

4.4总数值误差136

4.4.1数值微分的误差分析137

4.4.2数值误差的控制139

4.5粗差、模型误差和数据不确定性140

4.5.1粗差140

4.5.2模型误差141

4.5.3数据不确定性141

4.6习题141

第Ⅱ部分求根与最优化

第5章求根：划界法149

提出问题149

5.1工程和科学领域中的求根问题150

5.2图形法151

5.3划界法与初始猜测值153

5.4二分法157

5.5试位法163

5.6案例研究：温室气体与雨水166

5.7习题169

第6章方程求根：开方法177

6.1简单不动点迭代178

6.2牛顿-拉弗森方法182

6.3割线法187

6.4布伦特法189

6.4.1逆二次插值189

6.4.2布伦特法算法191

6.5MATLAB函数：fzero193

6.6多项式195

6.7案例研究：管道摩擦力198

6.8习题202

第7章最优化213

提出问题213

7.1简介与背景214

7.2一维最优化216

7.2.1黄金分割搜索217

7.2.2抛物线插值222

7.2.3MATLAB函数：fminbnd224

7.3多维最优化225

7.4案例研究：平衡与

极小势能227

7.5习题229

第Ⅲ部分线性方程组

第8章线性代数方程和矩阵245

提出问题245

8.1矩阵代数概述247

8.1.1矩阵符号247

8.1.2矩阵的运算规则249

8.1.3将线性代数方程组表示成矩阵形式256

8.2用MATLAB求解线性代数方程组257

8.3案例研究：电路中的电流和电压258

8.4习题262

第9章高斯消元法269

9.1求解小型方程组270

9.1.1绘图法270

9.1.2行列式和克拉默法则271

9.1.3未知数消元法274

9.2朴素高斯消元法275

9.2.1MATLABM文件：GaussNaive278

9.2.2运算次数279

9.3选主元281

9.3.1MATLABM文件：GaussPivot283

9.3.2用高斯消元法计算行列式284

9.4三对角方程组285

9.5案例研究：热杆模型287

9.6习题290

第10章LU分解297

10.1LU分解概述298 [3]

10.2高斯消元法与LU分解299

10.2.1使用选主元的LU分解302

10.2.2MATLAB函数：lu304

10.3楚列斯基分解305

10.4MATLAB的左除运算308

10.5习题308

第11章矩阵求逆和条件数311

11.1矩阵的逆311

11.1.1逆矩阵的计算311

11.1.2激励-响应计算313

11.2误差分析和方程组的条件数315

11.2.1向量和矩阵范数316

11.2.2矩阵条件数317

11.2.3用MATLAB计算范数和条件数319

11.3案例研究：室内空气污染320

11.4习题323

第12章迭代法329

12.1线性方程组：高斯-赛德尔329

12.1.1收敛性与对角占优332

12.1.2MATLABM文件：GaussSeidel332

12.1.3松弛法333

12.2非线性方程组335

12.2.1逐次代换法336

12.2.2牛顿-拉弗森方法337

12.2.3MATLAB函数：

fsolve342

12.3案例研究：化学反应343

12.4习题345

第13章特征值351

提出问题351

13.1数学背景352

13.2物理背景356

13.3幂方法358

13.4MATLAB函数：eig360

13.5案例研究：特征值与

地震362

13.6习题364

第Ⅳ部分曲线拟合

第14章线性回归373

提出问题373

14.1统计学回顾374

14.1.1描述统计学375

14.1.2正态分布377

14.1.3用MATLAB计算描述统计学量378

14.2随机数和模拟380

14.2.1MATLAB函数：rand380

14.2.2MATLAB函数：randn383

14.3线性最小二乘回归384

14.3.1“最佳”拟合条件385

14.3.2直线的最小二乘拟合386

14.3.3线性回归误差的量化388

14.4非线性关系的线性化392

14.5计算机应用396

14.5.1MATLABM文件：linregr396

14.5.2MATLAB函数：polyfit和polyval398

14.6案例研究：酶动力学398

14.7习题402

第15章一般线性最小二乘回归和

非线性回归413

15.1多项式回归413

15.2多重线性回归416

15.3一般线性最小二乘回归419

15.4QR分解与反斜杆运算符421

15.5非线性回归422

15.6案例研究：实验数据拟合424

15.7习题427

第16章傅里叶分析435

提出问题435

16.1使用正弦函数进行曲线拟合436

16.2连续傅里叶级数442

16.3频域和时域444

16.4傅里叶积分和变换447

16.5离散傅里叶变换(DFT)447

16.5.1快速傅里叶变换(FFT)449

16.5.2MATLAB函数：fft450

16.6功率谱452

16.7案例研究：太阳黑子453

16.8习题455

第17章多项式插值459

提出问题459

17.1插值法导论460

17.1.1确定多项式的系数461

17.1.2MATLAB函数：polyfit和polyval462

17.2牛顿插值多项式463

17.2.1线性插值463

17.2.2二次插值465

17.2.3牛顿插值多项式的一般形式466

17.2.4MATLABM文件：

Newtint469

17.3拉格朗日插值多项式470

17.4逆插值473

17.5外插值和振荡474

17.5.1外插值474

17.5.2振荡476

17.6习题478

第18章样条和分段插值485

18.1样条导论485

18.2线性样条487

18.3二次样条490

18.4三次样条493 [3]

18.4.1三次样条的推导494

18.4.2边界条件497

18.5MATLAB中的分段线性

插值498

18.5.1MATLAB函数：

spline499

18.5.2MAYTLAB函数：

interp1500

18.6多维插值502

18.6.1双线性插值503

18.6.2MATLAB中的多维插值504

18.7案例研究：传热505

18.8习题508

第Ⅴ部分积分与微分

第19章数值积分公式519

提出问题519

19.1导论和背景520

19.1.1什么是积分520

19.1.2工程和科学中的积分521

19.2牛顿-科特斯公式523

19.3梯形法则524

19.3.1梯形法则的误差525

19.3.2复合梯形法则527

19.3.3MATLABM文件：trap529

19.4辛普森法则530

19.4.1辛普森1/3法则531

19.4.2复合辛普森1/3法则532

19.4.3辛普森3/8法则534

19.5高阶牛顿-科特斯公式536

19.6非等距积分537

19.6.1MATLABM文件：trapuneq537

19.6.2MATLAB函数：trapz和cumtrapz538

19.7开型方法540

19.8多重积分541

19.9案例研究：用数值积分计算功543

19.10习题546

第20章函数的数值积分555

20.1导论555

20.2龙贝格积分556

20.2.1理查森外推法556

20.2.2龙贝格积分公式558

20.3高斯求积561

20.3.1待定系数法562

20.3.2两点高斯-勒让德公式的推导563

20.3.3更多点的公式566

20.4自适应求积分567

20.4.1MATLAB的M文件：quadadapt567

20.4.2MATLAB函数：integral570

20.5案例研究：均方根电流570

20.6习题574

第21章数值微分581

提出问题581

21.1导论和背景582

21.1.1什么是微分582

21.1.2工程和科学中的微分583

21.2高精度微分公式585

21.3理查森外推法588

21.4不等距数据的导数589

21.5含误差数据的导数与

积分590

21.6偏导数591

21.7用MATLAB计算数值

微分592

21.7.1MATLAB函数：diff592

21.7.2MATLAB函数：

gradient594

21.8案例研究：向量场的

可视化596

21.9习题597

第Ⅵ部分常微分方程

第22章初值问题613

提出问题613

22.1概述614

22.2欧拉法615

22.2.1欧拉法的误差分析617

22.2.2欧拉法的稳定性618

22.2.3MATLAB的M文件函数：eulode619

22.3欧拉法的改进620

22.3.1休恩法620

22.3.2中点方法624

22.4龙格-库塔方法625

22.4.1二阶龙格-库塔方法626

22.4.2古典四阶龙格-库塔方法627

22.5方程组630

22.5.1欧拉法630

22.5.2龙格-库塔方法631

22.5.3MATLAB的M文件函数：rk4sys633

22.6案例研究：捕食者-猎物模型与混沌635

22.7习题639

第23章自适应方法和刚性方程组647

23.1自适应龙格-库塔方法647

23.1.1求解非刚性方程组的MATLAB函数649

23.1.2事件653

23.2多步方法655

23.2.1非自启动休恩法655

23.2.2误差估计658

23.3刚性659

23.4MATLAB应用：带绳索的蹦极运动员664

23.5案例研究：普林尼的间歇式喷泉665

23.6习题669

第24章边值问题679

提出问题679

24.1导论和背景680

24.1.1什么是边值问题680

24.1.2工程和科学中的

边值问题681

24.2打靶法684

24.2.1导数边界条件686

24.2.2非线性ODE的打靶法688

24.3有限差分法690

24.3.1导数边界条件692

24.3.2非线性ODE的有限差分法694

24.4MATLAB函数：bvp4c696

24.5习题698

附录AMATLAB内置函数707

附录BMATLAB的M文件函数709

附录CSimulink简介711