干货｜从数学角度揭开步进电机调速算法

今天想分享一种超级实用的步进电机调速算法，这种算法在步进电机调速方案中可以说是一种非常优异的方案。

梯形调速算法

为啥需要设计一个调速算法呢？步进电机不是给多少脉冲就动多少步吗？但是带上负载了就可能失步，所谓失步，简单理解就是实际电机轴转过的度数，没有输入脉冲对应度数多。为什么会这样呢？电机的扭矩有可能无法驱动负载。一般会做一个启动加速控制过程，停止的时候做一个减速控制，中间做一个匀速控制。这就是比较常见的梯形调速控制算法。

这样一个梯形调速算法，相当于步进电机的运动过程包含三个阶段：

• ①加速过程
• ②匀速过程
• ③减速过程

①加速过程所用到的加速度为：

一般加速过程与减速过程所用的加速度绝对值是相同的，减速过程相当于加速度为-a.

所以总的行程图中速度曲线下阴影部分三个过程的面积：

由于加速过程与减速过程所用到的加速度绝对值相等，所以,所以

梯形速度调速算法很简单，比较容易实现，但是这个算法却有缺陷。

图中红色圆圈的位置，加速度从a突变为0，或从0突变为-a,这些突变点会带来什么后果呢？来看看其加速度曲线：

电机带着负载运动，比如常见的丝杆将电机的旋转运动，转化直线运动，又或者齿轮或滚珠结构，带动负载进行旋转运动。具有一定的质量的负载，在加速度突变情况下，很有可能会造成机械振动。

比较专业一点的术语称为急动(Jerk)，其实就是考察加速度的变化率的，也可以称为加加速度，我们知道速度的变化率就是加速度，而加速度的变化率就是加加速度。

如果用数学语言来装下逼，就是速度函数对时间的一阶导数就是加速度，而对加速度曲线的一阶导数就是加加速度。因此上图中加速度在时刻突变，意味着加加速度为无穷大。

对于给定的负载，加加速度越大，产生的不需要的振动能量就越大，振动能量的频谱也就越宽。这意味着加速度变化越快，振动就越强大，激发的振动模式数量也就越多。由于振动能量被系统机械吸收，如果振动频率与机械和控制系统中的共振相匹配，则可能会导致稳定时间增加或精度降低。

这样一说，好像就有思路了，我们如果能做到加速度的变化率是连续的，是否这种变化就会变得平滑呢？运动是不是就更柔性？所谓变化率连续，是不是就是相对于加速度函数的导数曲线是连续的就可以了？

S-曲线调速算法

假定来归一化速度曲线为从0加速到1，假设能做出如下调速曲线：

这样来看看这些拐点：

看速度曲线先是比较缓慢的增加，然后再比较快速的增加，然后在慢慢第逼近到期望的设定速度，因此这是一个变加速过程。再来做一个进一步的假设，把加速度过程的时间也做一个归一化：

对于函数，可以看出：

前面说,那么，意味着在0、1时刻，加速度为0。

假设速度曲线函数为：

则其一阶导数为：

这样就可以得出下面的方程组了：

解出a和b：

因此，调速曲线就得到了：

其加速度曲线为：

整个过程的加速度曲线长这样：

这样一来，加速度就是连续变化的，没有突变点。解决了之前提到的急动的问题。由于加速、减速过程完全对称，因此我们关心的运动距离控制，则很容易用下图中绿色区域的面积计算得到：

有了这样的数学模型，编码实现就是水到渠成的事情了。

总结一下

电机速度控制，一般尽量做到柔性调速，本文分享的步进电机的S-曲线调速数学算法模型，是一个非常棒的算法模型。速度一开始缓慢增加到快速增加，再回到缓慢增加直到速度达到设定期望速度。从设计上，兼顾了快速启停，又能尽最大程度降低加速度突变这一对矛盾。希望对有兴趣的朋友有所帮助。