如何理解 FFT 中的频谱泄露效应 ？

如前文“如何理解FFT中时间窗与RBW的关系”及“基于示波器的创新频谱分析技术”所述，FFT 是在一定假设下完成的，即认为被处理的信号是周期信号，因此运算中会涉及到周期扩展。如果采用矩形窗口且待 FFT 分析的信号时长不是信号周期的整数倍，则周期扩展会导致相位不连续，从而引起频谱泄露的问题。

图1. Frame1时长不是信号周期整数倍，周期扩展引起相位不连续

关于如何规避频谱泄露，在上面两篇文章中已经阐述。为了更好地理解频谱泄露的本质，本文旨在从理论上定性地解释频谱泄露的起因。

总体来讲，周期扩展中的相位不连续可以理解为相位调制，而且是一种特殊的相位调制，调制信号不再是经典的正弦波信号。当相位跳变为  时，调制信号为方波信号，可以将其调制信号写为如下形式 (下面始终考虑相位跳变为  的情况)：

式中， 为调制信号的周期，为待 FFT 分析的波形时长的两倍。这意味着在 时刻，载波的相位发生了变化。

图2. 调制信号 p(t) 的时域波形

为了方便，下面将以对 CW 信号做 FFT 分析为例，并采用矩形窗，且窗口大小不是信号波形的整数倍。此时，周期扩展将造成载波相位的不连续。既然可以理解为相位调制，则可将已调信号写为如下形式：

式中  为相位偏移。很显然，调制信号已经不再是单频点信号，而是多频点信号。对于图2所示的周期为  的方波信号，其频谱包含基波及其众多的奇次谐波分量 。

满足 Dirichlet 条件时，任何周期函数均可以进行傅里叶级数展开，  可以写为：

 为脉冲信号基波角频率，  。经计算可得：

 可以重新写为：

由此可见，  除基波外还包含了众多的谐波分量。

首先考虑调制信号只包含DC和基波的情况，这又回到经典的相位调制。

将其代入已调信号  后可得

上式表示为复数形式为

可将  进行傅里叶级数展开，其展开式为宗数为  的第一类贝塞尔函数：

代入上式得

可以看出，当只考虑  包含的 DC 和基波时，已调信号  将包括  及  等众多频率分量。实际中  还包含丰富的谐波分量，因此对载波相位调制后的频谱更加丰富。面对的困难是，考虑的谐波越多，则公式推导越复杂。为了简化，下面只考虑到2次谐波。

代入  后并用复数表示为

类似地，傅里叶级数展开后

代入  后可得

当考虑到  的二次谐波时，  包含的频率分量： ， ， 以及  。

以此类推，当考虑更高阶的谐波时，将会有更多的频率项，从频率上看各个频率分量都是均匀分布的，而且相邻谱线之间的间距始终为  的基波  。

上面从理论上解释了频谱泄露的起因，而且当发生频谱泄露时，会产生众多的、分布均匀的频率分量，相邻谱线的频间距取决于调制信号的频率。值得一提的是，相位偏移  不仅对频率有影响 ，而且决定了不同频率分量的幅度，当  变化较大时，已调信号  的频谱变化也很大。

举例验证：使用 AWG 输出一个 100MHz 频率的 CW 信号，波形时长10.5个周期，当循环播放时便可以模拟上述的相位不连续性。

对于这种波形时长不是信号周期整数倍的情况，当单次播放时，信号的频率就是 100MHz ，但是当连续播放时相当于引起了相位调制，按照上述理论分析，频谱中将包含很多频率成分，图4给出了信号的实测频谱。

本例中，波形时长为105ns，这意味着频谱中相邻谱线之间的频率间隔约为：4.76MHz，这与图4所示的频谱是吻合的。

图3. 波形时长为 10.5 个信号周期图4. 时域波形及其频谱

小结

对于使用矩形窗进行 FFT 时可能存在的频谱泄露效应，本文从理论上定性地进行了分析。究其原因，是因为当进行周期扩展时造成了相位的不连续。相位的不连续可以当作相位调制来处理，经过一系列推导最终解释了为什么会出现众多的频率成分。文末通过一个实例模拟了这种相位不连续，并测试了波形和频谱，实测结果与理论推导相吻合。